No es casual que las matem\u00e1ticas sean una de las asignaturas m\u00e1s dif\u00edciles en la educaci\u00f3n b\u00e1sica y esto no se debe s\u00f3lo a la existencia de malos profesores. La mente humana es esencialmente concreta y poco acostumbrada a trabajar con abstracciones tan desarrolladas como las que implica el pensamiento matem\u00e1tico. De hecho, as\u00ed como los ni\u00f1os suelen sufrir con esta materia, la humanidad tuvo que pasar por un largo proceso de comparaci\u00f3n cuantitativa antes de que depurara el concepto de n\u00famero y operara con \u00e9l como un objeto abstracto. Este camino fue trazado por la producci\u00f3n de un excedente, el surgimiento de una casta intelectual y una serie de necesidades hist\u00f3ricas que encauzaron su invenci\u00f3n y desarrollo. Los viejos pitag\u00f3ricos cre\u00edan que la realidad material proven\u00eda de los n\u00fameros que como entes ideales estaban emparentados con Dios, pero en realidad son los n\u00fameros lo que provienen de un largo y doloroso estudio y control de la naturaleza por parte del ser humano.<\/p>\n
Rebasa nuestras capacidades una historia completa de las matem\u00e1ticas, pero queremos exponer su origen primitivo en relaci\u00f3n a las primeras sociedades humanas y primeras civilizaciones.<\/p>\n
En realidad, las condiciones de vida de los cazadores recolectores no requieren de la utilizaci\u00f3n de grandes n\u00fameros ni de conceptos demasiado abstractos, m\u00e1s bien requieren el adecuado discernimiento de las diferentes manifestaciones de la naturaleza en toda su concreci\u00f3n. Antes de abstraer el concepto de n\u00famero era necesario discernir las diversas cualidades del mundo circundante, es decir, la abstracci\u00f3n cualitativa vino antes que la cuantitativa (la f\u00edsica, y la ciencia en general, es la uni\u00f3n superior de ambas aproximaciones, o sea, la negaci\u00f3n dial\u00e9ctica de ambas). En los pueblos de bandas y aldeas no es necesaria la precisi\u00f3n cuantitativa puesto que no hay cantidades considerables para acumular, ni nadie echa de menos la contabilidad precisa de los enseres dom\u00e9sticos, herramientas u otros objetos cotidianos. Un grado de abstracci\u00f3n como el alcanzado por la ciencia moderna es in\u00fatil para el acecho de presas y la diferenciaci\u00f3n de plantas o animales nocivos.<\/p>\n
Si bien los cazadores-recolectores no requieren por lo com\u00fan contar con precisi\u00f3n, s\u00ed que est\u00e1n preocupados por la cantidad de lo que se caza o se recolecta y aqu\u00ed s\u00ed pueden ser muy precisos, sin la necesidad real de abstraer el concepto de n\u00famero. Es muy probable que las marcas en huesos que nos han llegado del periodo paleol\u00edtico sean una especie de contabilidad de las manadas que esos pueblos cazaban. As\u00ed, por ejemplo, el llamado \u201chueso de ishango\u201d \u2014probablemente el peron\u00e9 de un babuino, encontrado en las cercan\u00edas del nacimiento del Nilo\u2014 tiene una antig\u00fcedad de 20 mil a\u00f1os. Presenta un conjunto de ranuras divididas por columnas. Se ha interpretado como un viejo instrumento para sumar y multiplicar, tambi\u00e9n como un instrumento para predecir el calendario lunar \u2014quiz\u00e1 las agrupaciones de 30 en 30, comunes en este tipo de instrumentos, tengan relaci\u00f3n con el mes lunar\u2014 pero es posible que simplemente sea un registro de grupos de animales o personas. Interpretaciones mucho m\u00e1s sofisticadas de estos instrumentos del paleol\u00edtico sobre el conocimiento de n\u00fameros primos hay que verlas como una proyecci\u00f3n de matem\u00e1ticos modernos que encuentran patrones que no pod\u00edan aun conocer los hombres de la edad de piedra. Instrumentos similares, del mismo periodo, han sido encontrados en diversas partes del mundo: palos o huesos con marcas separadas por grupos. Esto sugiere que la humanidad aprendi\u00f3 a contar mediante la \u201ccorrespondencia biun\u00edvoca\u201d, es decir, mediante la comparaci\u00f3n de dos cantidades de objetos. Los ni\u00f1os peque\u00f1os hacen esto cuando indican su edad con los dedos o con ayuda del \u00e1baco. Muy seguramente el hombre primitivo comparaba, entre otras cosas, cantidades de marcas con cantidades de animales o miembros del clan.<\/p>\n
Revelador es que en algunas comunidades los n\u00fameros no est\u00e1n divorciados de los objetos a los que califican, con lo que, por ejemplo, las expresiones \u201cdos canoas\u201d y \u201cdos cocos\u201d requieren n\u00fameros diferentes, o sea sistemas de numeraci\u00f3n m\u00faltiples y concretos. No existe el n\u00famero como tal; incluso hay grupos cuyos sistemas num\u00e9ricos s\u00f3lo distinguen entre \u201cuno\u201d, \u201cdos\u201d y \u201cmuchos\u201d.[1]\u00a0Los griegos ten\u00edan una expresi\u00f3n para un n\u00famero cuya magnitud les resultaba dif\u00edcil de contar, para ellos cien veces cien \u201410, 000 (hoy en d\u00eda un n\u00famero bastante modesto) \u2014 era \u201cmir\u00edada\u201d, t\u00e9rmino que seguimos usando para referirnos a lo incalculable. Los antiguos sumerios, por ejemplo, utilizaban las palabras \u201chombre\u201d, \u201cmujer\u201d y \u201cvarios\u201d en vez de uno, dos y tres. Interesante es la experiencia de Francis Galton con una tribu bant\u00fa del \u00c1frica subecuatorial:<\/p>\n
\u201cCuando se les pregunta a cuantos d\u00edas de viaje puede estar un lugar [\u2026] no usan ning\u00fan n\u00famero mayor de tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a sus dedos, que son para ellos unos instrumentos de c\u00e1lculo tan formidable como lo es para un escolar ingl\u00e9s la regla. Despu\u00e9s de cinco se desconciertan, porque no les queda una mano libre para coger los dedos requeridos para las unidades. Sin embargo, rara vez pierden un buey; la forma en que descubren la p\u00e9rdida de uno no es por el n\u00famero menor de cabezas de ganado, sino por la ausencia de una cara que conocen\u201d.[2]\n
Es muy sugerente que a la mente humana le sea tan dif\u00edcil contar con facilidad algo m\u00e1s de tres o cinco objetos. Para ayudarse en la dif\u00edcil tarea de contar la humanidad se apoy\u00f3 no s\u00f3lo de dedos y piedras, sino de la agrupaci\u00f3n de cantidades de forma que pudieran manejarse mejor. La separaci\u00f3n por grupos en el hueso de ishango \u2013y en otros similares- muestra que la mente humana necesita agrupar para poder contar. Esta es la raz\u00f3n de que a\u00fan solemos contar nuestra quincena agrupando monedas o billetes de dos en dos o de diez en diez; y es que \u201cde un \u00fanico golpe de vista nuestro cerebro es capaz de reconocer como m\u00e1ximo cinco objetos. Con cantidades mayores necesita buscar una estrategia para contarlos\u201d.[3]\u00a0Las matem\u00e1ticas van a surgir como instrumento para sortear esa dificultad.<\/p>\n
La abstracci\u00f3n matem\u00e1tica requiri\u00f3 de un largo proceso en el que se comparaban aspectos cuantitativos de los objetos, sin que la cantidad fuera separara realmente de \u00e9stos. Por ejemplo, antiguos pueblos pastores, como suced\u00eda entre los romanos, sol\u00edan contar las cabezas de su ganado poniendo en un saco una piedra por cada animal que sal\u00eda a pastar, y cuando el ganado regresaba al corral se sacaba una piedra por cada oveja y al final no deb\u00eda quedar ninguna piedra en el saco si es que el reba\u00f1o regresaba completo. Lo que se hace aqu\u00ed no es precisamente operar con n\u00fameros sino comparar cantidades de objetos concretos, un ejemplo de correspondencia biun\u00edvoca. De la costumbre antiqu\u00edsima de contar con piedras deriva nuestro concepto de c\u00e1lculo, que significa literalmente piedra en lat\u00edn (calculus). Pero aunque los pueblos primitivos pueden contar por ese tipo de comparaciones ignoran, en realidad, el concepto de n\u00famero.<\/p>\n
\u201cExperiencias etnogr\u00e1ficas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesi\u00f3n ordenada de palabras num\u00e9ricas no lleva necesariamente consigo la comprensi\u00f3n del concepto de n\u00famero cardinal\u201d[4]\n
Dijimos ya que la humanidad aprendi\u00f3 a contar con lo que ten\u00eda a la mano y aparte de las piedras no hay nada m\u00e1s a la mano que los dedos. Por ejemplo \u2013dice Peter Watson- en algunas tribus africanas \u201cla palabra para \u201ccinco\u201d realmente significa \u201cmano completa\u201d, mientras que \u201cseis\u201d significa literalmente \u201csalta\u201d (esto es, a la otra mano). No es casualidad que la mayor\u00eda de los sistemas num\u00e9ricos (indoeuropeos) sean decimales. Nuestras palabras once y doce provienen, respectivamente, de \u201cuno m\u00e1s\u201d \u2013o sea uno m\u00e1s de los diez dedos de las manos- y \u201cdos m\u00e1s\u201d. De hecho, el t\u00e9rmino \u201cd\u00edgito\u201d proviene de una palabra latina que significa \u201cdedo\u201d \u2014nuestro aparentemente sofisticado concepto \u201cdigital\u201d proviene de un t\u00e9rmino tan prosaico o de un ap\u00e9ndice que a los ni\u00f1os les sirve para sacarse los mocos\u2014. Es m\u00e1s, una mirada observadora notar\u00e1 sin dificultad que los n\u00fameros romanos no son otra cosa que la representaci\u00f3n de los dedos. El cinco, por ejemplo, es la representaci\u00f3n geom\u00e9trica de la mano. La base diez de la mayor\u00eda de sistemas de numeraci\u00f3n en el mundo no se debe m\u00e1s que a un accidente anat\u00f3mico. \u201cDesde un punto de vista estrictamente matem\u00e1tico resulta en cierto modo un inconveniente el que el hombre de Cro-magnon y sus descendientes no tuvieran o bien cuatro o seis dedos en cada mano\u201d.[5]\n
Pero algunas otras culturas, como los normandos y mesoamericanos, quiz\u00e1 utilizaron tambi\u00e9n los \u201cd\u00edgitos\u201d de los pies para ayudarse a contar (no s\u00f3lo recurrieron a lo que \u201cten\u00edan a la mano\u201d sino lo que \u201cten\u00edan a los pies\u201d), dando origen al sistema vigesimal. Antes de pensar que la hip\u00f3tesis parece broma, consideremos que a\u00fan hoy la tribu Fore de Nueva Guinea, que cobr\u00f3 notoriedad en los medios durante los 50s y 60s por la rara enfermedad que adquirieron debido a la costumbre ritual de comer el cerebro de sus parientes difuntos, \u201ccontabiliza objetos [nos dice Jared Diamond] con los diez dedos de las dos manos, luego los diez dedos de los pies y, por \u00faltimo, una serie de puntos a lo largo de los brazos\u201d.\u00a0[6]\u00a0Con este inteligente m\u00e9todo pueden calcular a simple vista el n\u00famero de boniatos (camote polinesio) en un mont\u00f3n, con una precisi\u00f3n asombrosa.<\/p>\n
Pero con el surgimiento de ganader\u00eda y la agricultura nace la acumulaci\u00f3n de un excedente, nacen las primeras civilizaciones, se desarrolla el comercio a niveles sin precedentes; con ello surge la necesidad de calcular con mayor precisi\u00f3n y de establecer normas de pesos y medidas, se desprende un grupo de individuos liberados del trabajo productivo que pueden dedicarse a desarrollar abstracciones que antes s\u00f3lo exist\u00edan en germen. Las matem\u00e1ticas y la escritura se desarrollaron en manos de una casta que monopolizaba ese conocimiento, s\u00f3lo accesible a quienes no ten\u00edan la necesidad de trabajar extenuantes horas en labores productivas. Este conocimiento fue s\u00edmbolo de estatus y poder, as\u00ed, por ejemplo, \u201cen una inscripci\u00f3n de una pir\u00e1mide, el alma de un fara\u00f3n es desafiada por un esp\u00edritu maligno para que demuestre que puede contar los dedos de las manos, pasando triunfalmente el examen\u201d.[7]\u00a0No es casual, en fin, que las palabras matem\u00e1ticas provenga del griego \u201cmathematikos\u201d que significa estudioso y \u201cmathema\u201d que significa conocimiento, expresi\u00f3n de que su desarrollo estuvo en manos de una casta sacerdotal que se liber\u00f3 del trabajo directo gracias a la explotaci\u00f3n del hombre por el hombre. Marx dec\u00eda que la clase dominante no s\u00f3lo utiliza la propiedad de las fuerzas productivas en beneficio propio, sino tambi\u00e9n monopoliza el conocimiento en su propio inter\u00e9s.<\/p>\n
El concepto de n\u00famero tiene similitudes con el concepto y noci\u00f3n de valor-trabajo. Este \u00faltimo s\u00f3lo puede abstraerse \u2014hasta desprenderse de los valores \u00fatiles\u2014 mediante la comparaci\u00f3n del trabajo invertido en diversas mercanc\u00edas, usando una de ellas como medida del valor. Marx explica esto en el primer tomo de El Capital. Finalmente el valor se desprende de los objetos en la forma de dinero. As\u00ed mismo el n\u00famero como abstracci\u00f3n se desprendi\u00f3 de los objetos a trav\u00e9s de la comparaci\u00f3n de cantidades, usando, por ejemplo, las piedras de un \u00e1baco como s\u00edmbolo de la cantidad, hasta que el n\u00famero se separ\u00f3 de todo portador material.<\/p>\n
No era posible registrar la riqueza acumulada y hacer un balance de las operaciones comerciales sin sumar y restar, y la necesidad pr\u00e1ctica de estas operaciones condujo a ahorrase tiempo en sus formas \u201csint\u00e9ticas\u201d que son la multiplicaci\u00f3n y la divisi\u00f3n. Con el desarrollo de la vida urbana, el comercio y el uso de los metales preciosos como medida del valor, surgi\u00f3 la necesidad de pesar con precisi\u00f3n los metales cuya unidad de peso era demasiado ambigua. Probablemente la balanza surgi\u00f3 como un medio de medir con precisi\u00f3n cient\u00edfica los metales preciosos, retomando un viejo instrumento de carga que usaban los campesinos conocido como p\u00e9rtiga, donde dos pesos se cargan mediante una vara equilibrada en el hombro. Los egipcios imaginaron que el dios Osiris, a la manera de un comerciante, pesar\u00eda el alma de los difuntos con una balanza para determinar si merec\u00edan vivir eternamente.<\/p>\n
Sobre todo, hab\u00eda que registrar esas cantidades en alguna forma de escritura, de hecho lo m\u00e1s probable es que el registro de cantidades antecediera a la escritura propiamente dicha. Mucho antes que se escribieran los mitos y epopeyas antiguas las primeras civilizaciones registraron canastos de grano y cabezas de ganado, lo cual demuestra el origen pr\u00e1ctico y mundano de las matem\u00e1ticas y la escritura. En una de las inscripciones sumerias m\u00e1s antiguas se puede leer: \u201ccuentas que representan ganado peque\u00f1o: veintiuna ovejas, seis borregas, ocho carneros adultos\u2026\u201d.[8]\u00a0Cantidades de ganado, sacos de grano o montones de pieles se anotaban retomando el viejo sistema de marcas en hueso ya conocido por los pueblos cazadores, s\u00f3lo que ahora las marcas se hac\u00edan en tablillas de barro y se crearon marcas especiales para grupos de cantidades mayores; para saber de qu\u00e9 cosa se trataba se sol\u00eda agregar un jerogl\u00edfico. De esas marcas en barro nacer\u00e1 la escritura cuneiforme de los sumerios. Los conos significaban granos, las formas ovoides jarras de aceite y los cilindros eran s\u00edmbolos de animales. Posteriormente esos glifos fueron separados para desarrollarse como escritura independiente de la contabilidad. Los jerogl\u00edficos egipcios parecen haberse desprendido de la contabilidad de esa misma manera.[9]\n
Adem\u00e1s de la contabilidad de los excedentes en los registros del templo o en los registros de los comerciantes, hab\u00edan otras actividades productivas que enfrentaban a la humanidad a la necesidad de depurar la abstracci\u00f3n cuantitativa e interesarse por la relaciones espaciales: el sedentarismo de la vida urbana trajo la arquitectura, la necesidad de medir con precisi\u00f3n vol\u00famenes, \u00e1ngulos y abstraer las figuras b\u00e1sicas que se estudian en la primaria; es decir, de inventar la trigonometr\u00eda y la geometr\u00eda que no por casualidad significa, en griego, \u201cmedir la tierra\u201d. Seg\u00fan Herodoto fueron los egipcios los que inventaron la geometr\u00eda. La fabricaci\u00f3n de tabiques, por ejemplo, conduce frontalmente a calcular con precisi\u00f3n \u00e1reas y vol\u00famenes, a entender la relaci\u00f3n entre los lados del paralelogramo con su \u00e1rea y volumen. En la India se empleaban f\u00f3rmulas consideradas sagradas para calcular el n\u00famero de ladrillos en un templo. Los egipcios usaban una serie de cuerdas para el dise\u00f1o de \u00e1ngulos y la alineaci\u00f3n de altares. De esas cuerdas, tambi\u00e9n usadas por los tejedores, naci\u00f3 la noci\u00f3n de las l\u00edneas rectas. Incluso hoy los alba\u00f1iles siguen usando este sistema de cuerdas para orientarse. Los arquitectos pod\u00edan dise\u00f1ar en planos los espacios urbanos, el n\u00famero exacto de materiales, mano de obra que se requer\u00edan; y con el fin de rematar las estructuras con vol\u00famenes piramidales esbozaron los principios del c\u00e1lculo integral. Es decir que la pr\u00e1ctica social en cierto nivel de desarrollo de las fuerzas productivas y de las relaciones sociales conduce al descubrimiento de las operaciones aritm\u00e9ticas y de c\u00e1lculo fundamentales.<\/p>\n
Las viejas unidades de medici\u00f3n tales como el pie, la milla deriva simplemente de intentar medir la tierra compar\u00e1ndola con la magnitud del pie y la zancada de viejos jefes tribales o primitivos reyes. Origen similar tiene las medidas \u201cpalmo\u201d, \u201ccodo\u201d, \u201cpulgada, \u201cvara\u201d que derivan de partes del cuerpo u objetos concretos. La medici\u00f3n de \u00e1ngulos y \u00e1reas no s\u00f3lo depur\u00f3 operaciones como la multiplicaci\u00f3n, sino que llev\u00f3 a operar con cuadrados y sus ra\u00edces. La relaci\u00f3n del cuadrado y su diagonal, por ejemplo, llevan directamente a deducir el llamado teorema de Pit\u00e1goras, que ya era conocido por los egipcios. Incluso confrontarse con las relaciones rec\u00edprocas entre \u00e1reas y per\u00edmetros a partir de magnitudes conocidas, con el fin de encontrar otras desconocidas, conduce al c\u00e1lculo de ecuaciones. Pero en las primeras civilizaciones, como la India, Egipto o China, las operaciones matem\u00e1ticas que hac\u00edan los sabios de la clase dominante se basaban en una especie de recetas o indicaciones legadas por la pr\u00e1ctica \u2014registradas en viejas tablillas o rollos\u2014 sobre c\u00f3mo proceder a calcular con ejemplos concretos, es decir, que del ejercicio matem\u00e1tico no se hab\u00edan extra\u00eddo los axiomas abstractos separados de su aplicaci\u00f3n pr\u00e1ctica. De esta forma arcaica estas viejas civilizaciones ya pod\u00edan resolver ecuaciones de primer grado. Por ejemplo, en el \u201cpapiro de Mosc\u00fa\u201d, uno de los textos matem\u00e1ticos m\u00e1s antiguos de la humanidad, con unos cuatro mil a\u00f1os de antig\u00fcedad, un viejo sabio egipcio presentaba la manera de encontrar el volumen de un tronco: \u201csi te dicen: una pir\u00e1mide truncada de 6 de altura vertical, por 4 en la base y 2 en lo alto. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrar\u00e1s lo correcto\u201d. En muchos casos esta sabidur\u00eda matem\u00e1tica cobraba formas m\u00edsticas y esot\u00e9ricas, pues las f\u00f3rmulas se presentaban como conjuros m\u00e1gicos que ligaban a la casta intelectual con los dioses, una muestra m\u00e1s del elitismo de la ciencia antigua. Ser\u00e1 en el periodo helen\u00edstico cuando Euclides, trabajando en la famosa biblioteca de Alejandr\u00eda que conten\u00eda textos de todas las civilizaciones del viejo mundo, compilar\u00e1 y organizar\u00e1 l\u00f3gicamente toda esa sabidur\u00eda matem\u00e1tica en forma de axiomas, ya depurados de todo misticismo y empirismo.<\/p>\n
Como hemos visto, con el conteo surge la necesidad de agrupar cantidades para operar mejor con ellas. Las tribus primitivas agruparon, primero, de dos en dos, de cinco en cinco y de veinte en veinte. Quedaba por delante el gran salto a la simbolizaci\u00f3n de dichas agrupaciones, es decir, el surgimiento de un sistema num\u00e9rico. Un ejemplo de esta agrupaci\u00f3n relacionada a la simbolizaci\u00f3n est\u00e1 en la numeraci\u00f3n maya, en donde cantidades menores a cinco se simbolizan con guijarros y grupos de cinco se simbolizan mediante barras. Ya vimos que la mayor\u00eda de civilizaciones aprendieron a contar con los dedos de las manos e incluso de los pies, derivando en el sistema decimal o vigesimal. Una curiosa excepci\u00f3n fue el sistema sexagesimal de los sumerios-babilonios (que coexist\u00eda con un sistema decimal). Su herencia est\u00e1 presente en las sesenta unidades de nuestros segundos, minutos, horas y \u00e1ngulos. \u00bfC\u00f3mo surgi\u00f3 esta curiosa manera de contar? Los sumerios usaron los dedos de las manos de un modo m\u00e1s sofisticado pero esencialmente id\u00e9ntico a otras civilizaciones (se trata de contar dedos), dando origen a un sistema de base 60: utilizaban el pulgar (el dedo gordo) de cualquier mano para se\u00f1alar las tres falanges (huesitos) de cada uno de los cuatro dedos restantes, contando, as\u00ed, del uno al doce; para n\u00fameros superiores se usaban los cinco dedos de la otra mano para marcar hasta cinco grupos de 12 (12\u00d75=60). As\u00ed naci\u00f3 el sistema sexagesimal que; adem\u00e1s, tiene sus virtudes sobre el decimal, como tener muchos divisores, facilitando el c\u00e1lculo de fracciones. Otra herencia sumeria son los 360 grados del c\u00edrculo, relacionado, probablemente, con los d\u00edas del a\u00f1o sumerio.[10]\u00a0Sea como fuere, existe un enlace evolutivo entre el conteo de camotes, como lo hace el pueblo Fore, y el sistema digital de nuestras computadoras modernas. La idea de que las matem\u00e1ticas surgieron de la raz\u00f3n pura o de la mente de dios, no es m\u00e1s que un prejuicio elitista.<\/p>\n
La operaci\u00f3n con grandes cantidades num\u00e9ricas que se volvi\u00f3 com\u00fan con el surgimiento de las civilizaciones requer\u00eda, como ya vimos, de la representaci\u00f3n de dichas cantidades. Civilizaciones como la romana utilizaron un sistema de simbolizaci\u00f3n no posicional en el cual el n\u00famero representado tiene el mismo valor sin importar su posici\u00f3n. As\u00ed, el diez de la izquierda en el n\u00famero romano XXI vale lo mismo que el de la derecha o que el X aislado. Este m\u00e9todo tiene el gran inconveniente de que requiere de una gran cantidad de s\u00edmbolos para representar n\u00fameros grandes. As\u00ed, por ejemplo, para un mill\u00f3n se usaba la letra M. Adicionalmente, e incluso m\u00e1s importante, con este sistema es muy complicado y engorroso hacer las operaciones m\u00e1s b\u00e1sicas (excepto para sumar y restar donde puede que los n\u00fameros romanos sean m\u00e1s f\u00e1ciles de usar). Retamos al lector a hacer una multiplicaci\u00f3n o divisi\u00f3n cualquiera usando n\u00fameros romanos.<\/p>\n
Pero algunas otras civilizaciones antiguas como la babil\u00f3nica, la china, la india y la maya inventaron un sistema mucho m\u00e1s eficiente: el sistema posicional. En \u00e9ste, el valor del n\u00famero depende de su posici\u00f3n. En el n\u00famero 1111, por ejemplo, el uno de la derecha no vale lo mismo que el uno de la izquierda; de hecho \u00e9ste \u00faltimo vale unas mil veces m\u00e1s. Este sistema tiene la enorme ventaja de que permite representar cualquier n\u00famero, por grande que sea, con una cantidad finita de s\u00edmbolos, concretamente, en el sistema indo-ar\u00e1bigo, s\u00f3lo diez s\u00edmbolos \u2014antes del uso del cero eran nueve s\u00edmbolos\u2014 o incluso menos como es el caso de la numeraci\u00f3n maya. El sistema posicional chino era menos abstracto pues cada valor posicional se representaba con un s\u00edmbolo adicional.<\/p>\n
Es posible que el surgimiento de este sistema haya tenido relaci\u00f3n con la necesidad pol\u00edtica no s\u00f3lo de contabilizar el excedente \u2014preocupaci\u00f3n que por supuesto era com\u00fan a los romanos\u2014 sino, adem\u00e1s, de la necesidad de contabilizar tiempos incre\u00edblemente largos, hasta el principio de los tiempos, a los que supuestamente estaban ligadas las dinast\u00edas por gracia divina. Ejemplo de esto es la obsesi\u00f3n de los mayas con el ciclo calend\u00e1rico no s\u00f3lo cronol\u00f3gico sino ritual, en ciclos que involucran muchos miles de a\u00f1os. Obsesi\u00f3n similar est\u00e1 presente en la religi\u00f3n hind\u00fa cuyos periodos abarcan, incluso, millones de a\u00f1os.<\/p>\n
Como sea, es muy probable que el sistema posicional fuera precedido por el uso del \u00e1baco, instrumento com\u00fan en esas viejas civilizaciones. En este instrumento, formado por hileras paralelas de piedras o guijarros \u2014que por cierto subraya el car\u00e1cter concreto del c\u00e1lculo\u2014, las series num\u00e9ricas se agrupan en distintos niveles para las unidades, decenas, centenas, etc. De aqu\u00ed no hac\u00eda falta m\u00e1s que representar cada nivel mediante una correspondiente representaci\u00f3n posicional. Y una vez hecho esto no hac\u00eda falta m\u00e1s que un peque\u00f1o salto cualitativo, que en realidad fue un paso de gigante: la invenci\u00f3n del cero. Tampoco nos parece casual que tres de esas cuatro civilizaciones que inventaron un sistema posicional tambi\u00e9n llegaran a un s\u00edmbolo para el cero. Los indios inventaron el cero unos doscientos a\u00f1os despu\u00e9s del uso del sistema posicional lo que sugiere una relaci\u00f3n hist\u00f3rica y l\u00f3gica entre ambos. El sistema posicional tiene el \u201cinconveniente\u201d de que debe encontrarse un s\u00edmbolo para los casos en que uno de los niveles est\u00e1 \u201cvac\u00edo\u201d. Por ejemplo es relativamente f\u00e1cil representar en el \u00e1baco el n\u00famero 103: se ponen tres guijarros en el nivel de las unidades, ninguno en el de las decenas y uno en el de las centenas. \u00bfPero c\u00f3mo representar ese lugar vac\u00edo cuando el n\u00famero se escribe? Hace dos mil seiscientos a\u00f1os los babilonios lo resolvieron mediante un signo que separaba las cantidades, los mayas hicieron lo propio mediante una especie de concha o representaci\u00f3n de una mano vac\u00eda, y los indios lo resolvieron poniendo un punto y luego una especie de huevo que simboliza el vac\u00edo, s\u00edmbolo que aparece por primera vez en una inscripci\u00f3n del a\u00f1o 876. De hecho nuestra palabra cero deriva de la palabra \u00e1rabe \u201csifr\u201d que significa vac\u00edo, que tambi\u00e9n da nombre a nuestra palabra cifrar. La invenci\u00f3n del cero fue revolucionaria: no s\u00f3lo va a catapultar la evoluci\u00f3n de las matem\u00e1ticas, sino que representa un verdadero desaf\u00edo mental \u2014de all\u00ed parte de su genialidad\u2014 el operar con un n\u00famero para la ausencia de n\u00fameros y descubrir, m\u00e1s tarde, que el cero es un n\u00famero muy concreto, sujeto a sus propias leyes y que tiene la facultad de potenciar a todos los dem\u00e1s dot\u00e1ndolos de nuevos valores. En el siglo VII, por ejemplo, el matem\u00e1tico indio Brahmagupta mostr\u00f3 algunas de las propiedades del cero, y en el siglo XII el matem\u00e1tico Bhaskara razon\u00f3 que un n\u00famero dividido entre cero da infinito, con los cual la supuesta \u201cnada\u201d se ligaba con su opuesto inconmensurable. Se descubri\u00f3 que el cero no es s\u00f3lo la ausencia de cantidad, sino que es una cantidad muy concreta en s\u00ed misma.<\/p>\n
Fueron estas propiedades parad\u00f3jicas y contra-intuitivas las que explican, en parte, que el cero, junto con la numeraci\u00f3n indo-ar\u00e1biga, tardara medio milenio en difundirse en el mundo occidental, lastrado por las supersticiones medievales. Pero la enorme superioridad del sistema posicional y del cero sobre el rudo sistema num\u00e9rico romano \u2014que desconoc\u00eda el cero\u2014 va a terminar imponi\u00e9ndose a fuerza de los intereses comerciales, mar\u00edtimos y cient\u00edficos que derribar\u00e1n los viejos prejuicios religiosos. Bien es cierto que los mayas inventaron el cero antes de que sucediera lo propio en la India, pero el cero indo-ar\u00e1bigo tendr\u00e1 la suerte de que se va a conectar con el resto del mundo mediante la ruta de la seda y las conquistas de los \u00e1rabes, y de aqu\u00ed ser\u00e1 heredado al naciente mundo burgu\u00e9s que va a terminar por conquistar el mundo a la fuerza.<\/p>\n
Hemos visto que los n\u00fameros son el resultado de la historia y del contacto pr\u00e1ctico con las propiedades cuantitativas de la realidad material. Son una abstracci\u00f3n de las propiedades cuantitativas comunes a todo objeto y proceso. No son objetos trascendentes sino abstracciones de la realidad surgidas en conjunto con el largo proceso de control de la naturaleza, desarrollo de la ciencia, la t\u00e9cnica y evoluci\u00f3n de las relaciones sociales. Lleg\u00f3 un punto en donde esas abstracciones, nacidas de la pr\u00e1ctica real y concreta, se desprendieron como disciplina relativamente aut\u00f3noma, capaz de desarrollar su propia l\u00f3gica, axiomas y leyes. De aqu\u00ed el prejuicio de que son producto de la raz\u00f3n pura o incluso de la mente de dios, con propiedades m\u00edsticas y m\u00e1gicas. Incluso hoy, en la inmensa mayor\u00eda de los casos, el dominio pleno de las matem\u00e1ticas sigue siendo el patrimonio de una casta acad\u00e9mica y profesional. Pero una vez que la humanidad sea capaz de superar la explotaci\u00f3n de clases, ese conocimiento milenario, junto al resto de las conquistas culturales de la humanidad, ser\u00e1 patrimonio com\u00fan de todos y ser\u00e1 usado masivamente no s\u00f3lo como ciencia fundamental para resolver necesidades humanas, sino incluso como medio para el disfrute de una disciplina art\u00edstica.<\/p>\n
[1]\u00a0Watson, Peter;\u00a0Ideas, historia intelectual de la humanidad,\u00a0<\/em>Cr\u00edtica, Barcelona, 2013, pp. 753-754.<\/span><\/p>\n [2]\u00a0Collete, Jean-Paul;\u00a0Historia de las matem\u00e1ticas<\/em>, Tomo I, M\u00e9xico, Siglo veintiuno, 2000, p. 9.<\/span><\/p>\n [3]\u00a0Graci\u00e1n, Garc\u00eda;\u00a0Los n\u00fameros primos, un largo camino al infinito<\/em>, Espa\u00f1a, Editec, 2011, p. 10<\/span><\/p>\n [4]\u00a0Collete, Jean-Paul;\u00a0Historia de las matem\u00e1ticas<\/em>, Tomo I, M\u00e9xico, Siglo veintiuno, 2000, p. 7.<\/span><\/p>\n [5]\u00a0Boyer, Carl;\u00a0Historia de la matem\u00e1tica<\/em>, Madrid, Alianza editorial, 2003, p. 22.<\/span><\/p>\n [6]\u00a0Diamond, Jared;\u00a0El mundo hasta ayer<\/em>, M\u00e9xico, Debate, 2013, p. 318.<\/span><\/p>\n [7]\u00a0Bernal, John D.\u00a0La ciencia en la historia,\u00a0<\/em>M\u00e9xico, Nueva imagen, 1989, p.138.<\/span><\/p>\n [8]\u00a0Watson, Peter;\u00a0Ideas, historia intelectual de la humanidad,\u00a0<\/em>Cr\u00edtica, Barcelona, 2013, p. 124.<\/span><\/p>\n [9]\u00a0Cf. Bernal, John D.\u00a0La ciencia en la historia,\u00a0<\/em>M\u00e9xico, Nueva imagen, 1989, p. 137.<\/span><\/p>\n [10]\u00a0Otra versi\u00f3n sostiene que el sistema resulta del n\u00famero de grados que se pueden trazar en un c\u00edrculo utilizando escuadra y comp\u00e1s, pero algunos matem\u00e1ticos han objetado que si fuera as\u00ed se podr\u00eda haber elegido entre otros n\u00fameros.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" No es casual que las matem\u00e1ticas sean una de las asignaturas m\u00e1s dif\u00edciles en la educaci\u00f3n b\u00e1sica y esto no se debe s\u00f3lo a la existencia de malos profesores. La mente humana es esencialmente concreta y poco acostumbrada a trabajar con abstracciones tan desarrolladas como las que implica el pensamiento matem\u00e1tico. De hecho, as\u00ed como…<\/p>\n","protected":false},"author":23,"featured_media":11286,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"_uf_show_specific_survey":0,"_uf_disable_surveys":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[65,537],"tags":[1667,1665,1666],"class_list":["post-11284","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-historia","category-principales","tag-matematicas","tag-numeros","tag-pitagoras"],"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\n