![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/bucle.png\")
<\/p>\nLa conjetura de Collatz es un interesante enigma matem\u00e1tico que ha desafiado cualquier soluci\u00f3n durante d\u00e9cadas y que esconde asombrosos patrones fractales con implicaciones dial\u00e9cticas entre comportamientos azarosos y deterministas. El comportamiento de estos n\u00fameros tiene vinculaci\u00f3n con la teor\u00eda del caos -que estudia la vinculaci\u00f3n entre el orden y fen\u00f3menos aparentemente aleatorios- y otra teor\u00eda de la f\u00edsica, la teor\u00eda erg\u00f3dica, que estudia el comportamiento promedio de fen\u00f3menos din\u00e1micos que inicialmente parecen tener un comportamiento aleatorio pero terminan, a largo plazo, en un comportamiento previamente experimentado y determinado.<\/p>\n
El problema consiste en elegir cualquier n\u00famero natural y aplicar de forma reiterada la siguiente operaci\u00f3n: \u201csi se toma un n\u00famero par, este es dividido entre dos; si el n\u00famero es impar, este es multiplicado por tres y se le agrega 1 al resultado. Este proceso se realiza, de forma iterada, con los n\u00fameros obtenidos tras cada paso\u201d .La conjetura establece que sin importar el n\u00famero natural por el que se comience el resultado final ser\u00e1 siempre 1. \u201cDe hecho, tras llegar a 1 este al iterarlo se convierte en 4, luego a 2 y nuevamente llegar\u00e1 a 1, estableci\u00e9ndose un bucle\u201d\u00a04,2,1 se repite en un circuito infinito.<\/p>\n
Por ejemplo, empezando por 9, encontramos como resultado de las iteraciones la siguiente serie: 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. \u201cLa conjetura de Collatz presenta un comportamiento ca\u00f3tico, no es posible determinar si la cantidad de pasos necesarios para que el n\u00famero llegue a 1 obedece a si el n\u00famero es grande o peque\u00f1o\u201d . Vimos que para el n\u00famero 9 se requieren 19 iteraciones para llegar al 1 y comenzar el bucle infinito; para el 27 se requieren 111 pasos, mientras que para el 8192 se requieren apenas 13 iteraciones. O sea que la conjetura de Collatz combina los siguientes elementos: la aleatoriedad en el comportamiento de los primeros n\u00fameros que aparecen en las iteraciones, la determinaci\u00f3n absoluta que implica que todos terminan en 1, y la existencia de un c\u00edrculo infinito de 4,2,1 si seguimos la iteraci\u00f3n a partir del final; aleatoriedad, determinaci\u00f3n y un ciclo cerrado.<\/p>\n
La Conjetura de Collatz es un problema que cualquier persona con conocimientos elementales de aritm\u00e9tica puede entender, pero que, en contraste con su pr\u00edstina sencillez, no es claro si existe demostraci\u00f3n posible o no. Fue compuesto por el matem\u00e1tico alem\u00e1n Lothar Collatz en 1932 y circul\u00f3 por primera vez entre sus colegas en 1950. Asombroso que a m\u00e1s de cinco d\u00e9cadas de ser enunciada, no pueda demostrarse la conjetura de una simple operaci\u00f3n aritm\u00e9tica.<\/p>\n
Se trata de \u201cuna conjetura, una de esas pesadillas que atormenta el entendimiento de los matem\u00e1ticos, que perturba la conciencia y no permite dormir\u201d . \u201c\u00bfPor qu\u00e9 se trata de un problema tan dif\u00edcil a pesar de que es muy f\u00e1cil de enunciar? [\u2026] Por un lado, los iterados tienen un comportamiento \u00abpseudoaleatorio\u00bb, es decir, aunque est\u00e9n perfectamente definidos, parecen comportarse aleatoriamente\u201d. En el 2020 las supercomputadoras demostraron que la conjetura es v\u00e1lida para todas las secuencias de n\u00fameros menores a 2 elevado a la 68 -hablamos de m\u00e1s de 295 trillones-. Un n\u00famero incre\u00edblemente grande pero que est\u00e1 lejos de ser una demostraci\u00f3n para la cantidad infinita de n\u00fameros naturales.<\/p>\n
En los pasillos de las universidades se dec\u00eda que dicho problema no era m\u00e1s que un complot urdido por los sovi\u00e9ticos para entretener a los matem\u00e1ticos americanos en tareas in\u00fatiles. el matem\u00e1tico Alex Kontorovich afirm\u00f3 que \u00abentre los matem\u00e1ticos profesionales, la conjetura de Collatz no es famosa, sino infame. Si alguien admite en p\u00fablico que est\u00e1 trabajando en ella, eso significa que algo malo pasa con ese matem\u00e1tico\u00bb. Por su parte, el matem\u00e1tico Paul Erd\u00f6s afirm\u00f3 al respecto: \u00ablas matem\u00e1ticas, a d\u00eda de hoy, no est\u00e1n lo suficientemente maduras para tales preguntas\u00bb. \u00a0El desaf\u00edo es tal que existe un premio de 1.085.000 d\u00f3lares- el monto m\u00e1s alto por un problema matem\u00e1tico no resuelto- a quien logre alguna demostraci\u00f3n.<\/p>\n
Pero grandes revoluciones en el pensamiento cient\u00edfico han partido de \u201cexcentricidades\u201d que contradec\u00edan el \u201csentido com\u00fan\u201d dominante, de aparentes \u201cmonstruosidades\u201d que desafiaban los dogmas establecidos. Los n\u00fameros irracionales -por ejemplo- trastornaron la mente cerrada de los viejos pitag\u00f3ricos quienes intentaron ocultar su existencia, las estructuras fractales parec\u00edan meras curiosidades hasta mostrarse como una forma fundamental de la naturaleza -mucho m\u00e1s presentes que las r\u00edgidas figuras geom\u00e9tricas euclideanas- y hasta el descubrimiento de que el espacio se dobla de parti\u00f3 del estudio de la\u00a0 \u00f3rbita exc\u00e9ntrica de mercurio.<\/p>\n
No necesariamente la conjetura de Collatz contiene el germen de descubrimientos revolucionarios como esos. Por el momento los \u201cn\u00fameros granizo\u201d -que resultan de la conjetura, como veremos m\u00e1s adelante- se utilizan en programas para generar m\u00fasica y en el desarrollo de software que profundizan en patrones estad\u00edsticos, mismos programas que tienen el potencial de utilizarse en otros campos. Collatz mismo era un defensor de que las matem\u00e1ticas deben aplicarse al mundo real. Pero por m\u00e1s que para muchos este problema sea sin\u00f3nimo de una tarea in\u00fatil y sin objetivo alguno, esconde patrones muy interesantes que demuestran orden debajo del caos y la aleatoriedad. Al menos desde un punto de vista filos\u00f3fico muestran la vinculaci\u00f3n entre el azar y la necesidad, de patrones que se ocultan debajo de la superficie, incluso de patrones fractales de una infinita complejidad. Si bien hasta el momento no se ha podido encontrar ning\u00fan patr\u00f3n que resuelva si es verdadera o no.<\/p>\n
La conjetura implica, de cierta manera, la unidad entre lo aleatorio y la determinaci\u00f3n m\u00e1s cerrada y absoluta. Pero podr\u00eda objetarse que a pesar de su aleatoriedad, finalmente el proceso termina en un bucle cerrado. Un bucle es lo contrario a un movimiento dial\u00e9ctico que implica un proceso abierto y progresivo, una espiral. M\u00e1s bien estar\u00edamos ante un ejemplo del \u201ceterno retorno de lo mismo\u201d, una imagen estoica que impresion\u00f3 po\u00e9ticamente a Nietzsche. Pero la dial\u00e9ctica es siempre concreta y se manifiesta de manera determinada en cada nivel de la realidad y\u00a0 trav\u00e9s de un proceso contradictorio en s\u00ed mismo. El pensamiento dial\u00e9ctico no impone nada a los procesos, sino que, al contrario, \u00e9stos tienden a reforzar la idea de movimiento y desarrollo contradictorio, de forma en s\u00ed misma contradictoria. Para aterrizar esto veremos que nuevos patrones pueden emerger si cambiamos cuantitativamente la f\u00f3rmula.<\/p>\n
La conjetura ser\u00eda parte integrante de una serie de f\u00f3rmulas del mismo tipo que contienen comportamientos diferentes. As\u00ed, los bucles ser\u00edan parte integrante de una serie de patrones m\u00e1s variados y complejos que los contienen, tanto como a series que se disparan al infinito. El comportamiento dial\u00e9ctico es mucho m\u00e1s claro considerando al fen\u00f3meno desde una escala precisa. Por ejemplo: la conjetura 3n+1 termina siempre, o eso parece, en el ciclo 4,2,1. Pero si como \u201cn\u201d tomamos enteros negativos y aplicamos las mismas reglas (si es par lo dividimos entre 2 y si es impar aplicamos 3n+1), entonces se producen ciclos diferentes que termina y comienza siempre con el n\u00famero con el que se inicia la operaci\u00f3n. Ya no tenemos un movimiento aleatorio que termina en un bucle, sino directamente un bucle que comienza y termina por el mismo punto. Her\u00e1clito hab\u00eda se\u00f1alado que \u201cel principio y el fin de la circunferencia es el mismo\u201d. Esto significa que un cambio cuantitativo puede generar un ciclo cualitativamente diferente. Por ejemplo con -17:<\/p>\n
<\/p>\n
\u00bfPero ante este tipo de iteraciones con encontramos siempre ante bucles?. Parece que no siempre. Una f\u00f3rmula del mismo tipo que la de Collatz pero ahora 5n+1 resulta, por ejemplo, para el n\u00famero 1 en un ciclo de 5 n\u00fameros que comienza y termina por el 1 -o sea un c\u00edrculo cerrado-, pero con el 7 los n\u00fameros se disparan aparentemente de forma indefinida, hasta el infinito. O por lo menos eso parece. Parece ser que estamos ante una trayectoria no acotada, que se dispara sin fin para ciertos n\u00fameros. Aunque tampoco existe manera de probar, hasta ahora, que para esos n\u00fameros que divergen y se disparan al infinito, no existe -a su vez- alg\u00fan punto -por grande que sea- donde decaigan.<\/p>\n
Con estos elementos se podr\u00eda especular que la f\u00f3rmula de Collatz forma parte de una serie formulas del mismo tipo, algunas de las cuales resultan en ciclos acotados: ya sea que comiencen por series aleatorias que terminan por decaer hasta un peque\u00f1o bucle, otras f\u00f3rmulas que impliquen c\u00edrculos desde un comienzo, o en f\u00f3rmulas que incluyan n\u00fameros que se disparan sin fin. La diferencia entre esas f\u00f3rmulas de una misma clase es simplemente cuantitativa, es decir, que esos peque\u00f1os cambios resultan en procesos cualitativamente distintos: bucles diferentes, unidos o no a series inicialmente aleatorias, y en procesos sin fin. Pero por ahora no hay manera de probar que en cada una de esas iteraciones no existan o no trayectorias divergentes.<\/p>\n
Y parece ser que cada f\u00f3rmula contiene, a su vez, patrones subyacentes. Por lo menos es as\u00ed con la f\u00f3rmula cl\u00e1sica 3n+1. Nos encontramos con nuevos patrones impl\u00edcitos si consideramos a una gran cantidad de n\u00fameros y lo sometemos a la misma operaci\u00f3n. Incluso dentro de un proceso que termina en un bucle cerrado, si observamos desde una perspectiva adecuada, los procesos dial\u00e9cticos emergen.<\/p>\n
Encontramos patrones en la forma en que los n\u00fameros rebotan en la gr\u00e1fica antes de llegar al uno. Vimos, por ejemplo, que el n\u00famero 27 rebota 111 veces antes de llegar al ciclo 4,2,1; el resultado m\u00e1s alto que alcanza en esas 111 veces es el 9232. Si fuera en metros hablar\u00edamos de que el 27 parte de 27 metros para llegar m\u00e1s alto que el monte Everest. \u00a0Al 26, en contraste, apenas le toma 10 pasos llegar al 1 y su altura m\u00e1xima es de apenas 40. Por la forma en que los n\u00fameros rebotan rebotan antes de caer al suelo -como el granizo que rebota en una nube antes de caer de forma definitiva- son conocidos como \u201cn\u00fameros granizo\u201d. Resulta sorprendente que a partir de un comportamiento desordenado y ca\u00f3tico surja, en un momento dado, un comportamiento perfectamente predeterminado. Debido a este comportamiento se ha relacionado a la conjetura de Collatz con la teor\u00eda del caos, pues \u00e9sta estudia fen\u00f3menos en donde los cambios cuantitativos en un comportamiento ca\u00f3tico -como una tormenta tropical- generan estructuras organizadas -como un hurac\u00e1n- en un punto determinado.\u00a0 Vemos aqu\u00ed una serie de puntos cr\u00edticos en los cuales el comportamiento ca\u00f3tico de los n\u00fameros encuentra un pico (una cota), luego los n\u00fameros comienzan a decaer, hasta que -al parecer- indefectiblemente terminan en uno, o mejor dicho, en un peque\u00f1o bucle.<\/p>\n
El comportamiento aleatorio de estos n\u00fameros es similar a la gr\u00e1fica del mercado de valores, pues ambos movimientos son ejemplo del movimiento geom\u00e9trico browniano, patr\u00f3n que dibuja un fractal infinitamente quebrado, aunque en el primer caso lleve una tendencia descendente. Marx, por su parte, descubri\u00f3 que debajo del comportamiento aleatorio y an\u00e1rquico del mercado existen leyes deterministas que explican su comportamiento y crisis.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/fluctuaciones.jpg\")
<\/p>\n
De hecho, a medida que obtenemos un mayor n\u00famero de secuencias aparecen m\u00e1s patrones deterministas. Por ejemplo, aparecen regularidades estad\u00edsticas en la frecuencia en que aparecen, en el primer d\u00edgito de las secuencias de n\u00fameros en cada iteraci\u00f3n, los n\u00fameros del 1 al 9. Resulta que si se representa la frecuencia de estos n\u00fameros en un histograma, para el primer mill\u00f3n de millones de secuencias aparece un patr\u00f3n estable: el 30% de la secuencias comienzan con 1, el 17.5% comienzan por 2, el 13% con 3,etc\u00e9tera; de acuerdo a la siguiente tabla:<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Ley-de-Benford.jpg\")
<\/p>\n
Este patr\u00f3n de distribuci\u00f3n obedece a la ley de Benford, y se utiliza para descubrir fraudes, pues si un comportamiento aparentemente aleatorio -por ejemplo el comportamiento de los votos de una elecci\u00f3n- no obedece a esta ley, es muy probable que exista manipulaci\u00f3n. Este patr\u00f3n estad\u00edstico lo encontramos en gran cantidad de fen\u00f3menos: en la din\u00e1mica de las poblaciones, las cotizaciones de la bolsa, en las constantes f\u00edsicas y en la sucesi\u00f3n de Fibonacci\u00a0.La leyes de probabilidad se imponen de una forma particular a trav\u00e9s de la aleatoriedad y el accidente. Ya dec\u00eda Hegel que la necesidad hace uso del accidente, las leyes que rigen la realidad se manifiestan por una serie de casualidades.<\/p>\n
Si graficamos para cada n\u00famero natural -por ejemplo del 1 hasta el 9999- el n\u00famero de iteraciones que requiere para decaer hasta el 1 obtenemos una imagen que tiende a mostrar un peculiar patr\u00f3n entretejido:<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/entretejido.png\")
<\/p>\n
Mismo patr\u00f3n que aumenta en densidad a medida en que se incrementan los n\u00fameros graficados, por ejemplo del 1 al 10 millones:<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/millones.png\")
<\/p>\n
Otro patr\u00f3n interesante resulta si graficamos la forma en que diversos n\u00fameros naturales confluyen todos hacia el bucle 4,2,1; resulta esto en una gr\u00e1fica de \u00e1rbol direccionada. Hasta ahora no se ha encontrado ning\u00fan n\u00famero que est\u00e9 desconectado de ese gran \u00e1rbol, es decir, ning\u00fan n\u00famero natural que al aplicarle la operaci\u00f3n de Collatz no termine en 1. Como vimos, las supercomputadoras han comprobado que la conjetura de Collatz es v\u00e1lida al menos para una cifra de m\u00e1s de 295 trillones.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/ramificaciones.png\")
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/ramificaciones2.png\")
<\/p>\n
La direccionalidad que parecen tener los n\u00fameros naturales hacia el bucle 4,2,1 recuerda la atracci\u00f3n gravitacional que ejerce un agujero negro supermasivo a cuya fuerza ni siquiera la luz puede escapar \u201cpues cualquiera sea el n\u00famero del cual se parta, conduce siempre al mismo resultado, es decir, ning\u00fan n\u00famero puede escapar del v\u00f3rtice final de la sucesi\u00f3n de Collatz\u201d. La gr\u00e1fica direccionada de la que hemos hablado puede representarse en forma de v\u00f3rtice (en la imagen vemos la representaci\u00f3n de los n\u00fameros del 1 al 10 0009). \u00bfExistir\u00e1 alg\u00fan n\u00famero superior al 2 elevado a la 68 que no confluya, ya sea porque -por alguna raz\u00f3n- se dispara al infinito o porque termina en un bucle diferente a 4,2,1? Hasta la fecha no se ha encontrado alg\u00fan contraejemplo que refute la conjetura.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/agujeronegro.png\")
<\/p>\n
El matem\u00e1tico Terence Tao, de la universidad de California, es quien probablemente se ha acercado a la confirmaci\u00f3n de la conjetura. Con estudios de probabilidad, publicados en el 2019, demostr\u00f3 que la conjetura es v\u00e1lida para \u201ccasi todo n\u00famero\u201d, aunque tampoco nadie ha encontrado nunca alguna excepci\u00f3n. \u00a0O sea que la conjetura parece ser \u201ccasi cierta\u201d. Tao escribe: \u201cestamos ante una situaci\u00f3n en donde parece haber una gran brecha entre \u00abcasi todos\u00bb y \u00abtodos\u00bb los resultados\u00bb\u201d\u00a0Aparentemente toda ley tiene sus excepciones pero no sabemos si la conjetura de Collatz es una excepci\u00f3n a la excepci\u00f3n, si existe alg\u00fan n\u00famero extraordinario que no confluya, alguna trayectoria excepcional, alg\u00fan ciclo exc\u00e9ntrico que no termine en 4,2,1. \u00bfQu\u00e9 implicaciones matem\u00e1ticas tendr\u00edan la existencia de esos n\u00fameros? Recordemos que la funci\u00f3n 5n+1 s\u00ed muestra n\u00fameros que divergen hasta el infinito; por otra parte, la conjetura de Poyla parec\u00eda ser v\u00e1lida desde que fue enunciada en 1919 y no fue sino hasta 1958 que se encontr\u00f3 un contraejemplo que mostr\u00f3 su falsedad. Pero la conjetura de Collatz parece ser mucho m\u00e1s escurridiza.<\/p>\n
Podemos encontrar m\u00e1s patrones si a este \u00e1rbol le asignamos un cierto grado de inclinaci\u00f3n diferente a los n\u00fameros pares o impares, el resultado es un asombroso patr\u00f3n fractal que crece a medida que a\u00f1adimos m\u00e1s n\u00fameros, y que asemeja al crecimiento org\u00e1nico de algas y corales. \u00a1Infinitos filamentos y ramas ocultos en una simple operaci\u00f3n!<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/fractal.jpg\")
<\/p>\n
Desde un punto de vista matem\u00e1tico los fractales se generan por un proceso de iteraci\u00f3n, es decir, por la repetici\u00f3n continua de la misma operaci\u00f3n a los resultados, una y otra vez; justo el tipo de operaciones impl\u00edcitas en la conjetura de Collatz. Uno de los fractales m\u00e1s asombrosos y conocidos es el fractal de Mandelbrot. Es una imagen autosimilar (como todo fractal) cuya peculiaridad est\u00e1 en que no es un fractal lineal -que repita simplemente la misma estructura- sino que adem\u00e1s de repetir la estructura principal, incluye infinitos patrones en diferentes niveles. Hemos explicado en\u00a0otros art\u00edculos\u00a0que este tipo de fractales constituyen una expresi\u00f3n gr\u00e1fica de la ley dial\u00e9ctica de la \u201cnegaci\u00f3n de la negaci\u00f3n\u201d-adem\u00e1s de la unidad de contrarios que implica lo finito e infinito- que, en pocas palabras, establece que en todo proceso las etapas que la componen niegan a las anteriores, las superan, pero conserv\u00e1ndolas al mismo tiempo. Un fractal parecido al de Mandelbrot aparece en la conjetura de Collatz si, bajo ciertas condiciones, la graficamos en el plano complejo -es decir, incluyendo n\u00fameros complejos-: \u201cEs decir, calculamos la \u00f3rbita de cada n\u00famero complejo bajo la funci\u00f3n y representamos de negro los puntos cuya \u00f3rbita sea convergente. Nos queda la siguiente representaci\u00f3n, denominada fractal de Collatz:\u201d[17]<\/sup>\u00a0Asignando colores y observando a escala, nos encontramos con un universo infinito:<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/fractales.jpg\")
<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/marxismo.mx\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/fractal2.png\")
<\/p>\n