No es casual que las matemáticas sean una de las asignaturas más difíciles en la educación básica y esto no se debe sólo a la existencia de malos profesores. La mente humana es esencialmente concreta y poco acostumbrada a trabajar con abstracciones tan desarrolladas como las que implica el pensamiento matemático. De hecho, así como los niños suelen sufrir con esta materia, la humanidad tuvo que pasar por un largo proceso de comparación cuantitativa antes de que depurara el concepto de número y operara con él como un objeto abstracto. Este camino fue trazado por la producción de un excedente, el surgimiento de una casta intelectual y una serie de necesidades históricas que encauzaron su invención y desarrollo. Los viejos pitagóricos creían que la realidad material provenía de los números que como entes ideales estaban emparentados con Dios, pero en realidad son los números lo que provienen de un largo y doloroso estudio y control de la naturaleza por parte del ser humano.
Rebasa nuestras capacidades una historia completa de las matemáticas, pero queremos exponer su origen primitivo en relación a las primeras sociedades humanas y primeras civilizaciones.
Contando sin usar números
En realidad, las condiciones de vida de los cazadores recolectores no requieren de la utilización de grandes números ni de conceptos demasiado abstractos, más bien requieren el adecuado discernimiento de las diferentes manifestaciones de la naturaleza en toda su concreción. Antes de abstraer el concepto de número era necesario discernir las diversas cualidades del mundo circundante, es decir, la abstracción cualitativa vino antes que la cuantitativa (la física, y la ciencia en general, es la unión superior de ambas aproximaciones, o sea, la negación dialéctica de ambas). En los pueblos de bandas y aldeas no es necesaria la precisión cuantitativa puesto que no hay cantidades considerables para acumular, ni nadie echa de menos la contabilidad precisa de los enseres domésticos, herramientas u otros objetos cotidianos. Un grado de abstracción como el alcanzado por la ciencia moderna es inútil para el acecho de presas y la diferenciación de plantas o animales nocivos.
Si bien los cazadores-recolectores no requieren por lo común contar con precisión, sí que están preocupados por la cantidad de lo que se caza o se recolecta y aquí sí pueden ser muy precisos, sin la necesidad real de abstraer el concepto de número. Es muy probable que las marcas en huesos que nos han llegado del periodo paleolítico sean una especie de contabilidad de las manadas que esos pueblos cazaban. Así, por ejemplo, el llamado “hueso de ishango” —probablemente el peroné de un babuino, encontrado en las cercanías del nacimiento del Nilo— tiene una antigüedad de 20 mil años. Presenta un conjunto de ranuras divididas por columnas. Se ha interpretado como un viejo instrumento para sumar y multiplicar, también como un instrumento para predecir el calendario lunar —quizá las agrupaciones de 30 en 30, comunes en este tipo de instrumentos, tengan relación con el mes lunar— pero es posible que simplemente sea un registro de grupos de animales o personas. Interpretaciones mucho más sofisticadas de estos instrumentos del paleolítico sobre el conocimiento de números primos hay que verlas como una proyección de matemáticos modernos que encuentran patrones que no podían aun conocer los hombres de la edad de piedra. Instrumentos similares, del mismo periodo, han sido encontrados en diversas partes del mundo: palos o huesos con marcas separadas por grupos. Esto sugiere que la humanidad aprendió a contar mediante la “correspondencia biunívoca”, es decir, mediante la comparación de dos cantidades de objetos. Los niños pequeños hacen esto cuando indican su edad con los dedos o con ayuda del ábaco. Muy seguramente el hombre primitivo comparaba, entre otras cosas, cantidades de marcas con cantidades de animales o miembros del clan.
Revelador es que en algunas comunidades los números no están divorciados de los objetos a los que califican, con lo que, por ejemplo, las expresiones “dos canoas” y “dos cocos” requieren números diferentes, o sea sistemas de numeración múltiples y concretos. No existe el número como tal; incluso hay grupos cuyos sistemas numéricos sólo distinguen entre “uno”, “dos” y “muchos”.[1] Los griegos tenían una expresión para un número cuya magnitud les resultaba difícil de contar, para ellos cien veces cien —10, 000 (hoy en día un número bastante modesto) — era “miríada”, término que seguimos usando para referirnos a lo incalculable. Los antiguos sumerios, por ejemplo, utilizaban las palabras “hombre”, “mujer” y “varios” en vez de uno, dos y tres. Interesante es la experiencia de Francis Galton con una tribu bantú del África subecuatorial:
“Cuando se les pregunta a cuantos días de viaje puede estar un lugar […] no usan ningún número mayor de tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a sus dedos, que son para ellos unos instrumentos de cálculo tan formidable como lo es para un escolar inglés la regla. Después de cinco se desconciertan, porque no les queda una mano libre para coger los dedos requeridos para las unidades. Sin embargo, rara vez pierden un buey; la forma en que descubren la pérdida de uno no es por el número menor de cabezas de ganado, sino por la ausencia de una cara que conocen”.[2]
Es muy sugerente que a la mente humana le sea tan difícil contar con facilidad algo más de tres o cinco objetos. Para ayudarse en la difícil tarea de contar la humanidad se apoyó no sólo de dedos y piedras, sino de la agrupación de cantidades de forma que pudieran manejarse mejor. La separación por grupos en el hueso de ishango –y en otros similares- muestra que la mente humana necesita agrupar para poder contar. Esta es la razón de que aún solemos contar nuestra quincena agrupando monedas o billetes de dos en dos o de diez en diez; y es que “de un único golpe de vista nuestro cerebro es capaz de reconocer como máximo cinco objetos. Con cantidades mayores necesita buscar una estrategia para contarlos”.[3] Las matemáticas van a surgir como instrumento para sortear esa dificultad.
La abstracción matemática requirió de un largo proceso en el que se comparaban aspectos cuantitativos de los objetos, sin que la cantidad fuera separara realmente de éstos. Por ejemplo, antiguos pueblos pastores, como sucedía entre los romanos, solían contar las cabezas de su ganado poniendo en un saco una piedra por cada animal que salía a pastar, y cuando el ganado regresaba al corral se sacaba una piedra por cada oveja y al final no debía quedar ninguna piedra en el saco si es que el rebaño regresaba completo. Lo que se hace aquí no es precisamente operar con números sino comparar cantidades de objetos concretos, un ejemplo de correspondencia biunívoca. De la costumbre antiquísima de contar con piedras deriva nuestro concepto de cálculo, que significa literalmente piedra en latín (calculus). Pero aunque los pueblos primitivos pueden contar por ese tipo de comparaciones ignoran, en realidad, el concepto de número.
“Experiencias etnográficas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesión ordenada de palabras numéricas no lleva necesariamente consigo la comprensión del concepto de número cardinal”[4]
Dijimos ya que la humanidad aprendió a contar con lo que tenía a la mano y aparte de las piedras no hay nada más a la mano que los dedos. Por ejemplo –dice Peter Watson- en algunas tribus africanas “la palabra para “cinco” realmente significa “mano completa”, mientras que “seis” significa literalmente “salta” (esto es, a la otra mano). No es casualidad que la mayoría de los sistemas numéricos (indoeuropeos) sean decimales. Nuestras palabras once y doce provienen, respectivamente, de “uno más” –o sea uno más de los diez dedos de las manos- y “dos más”. De hecho, el término “dígito” proviene de una palabra latina que significa “dedo” —nuestro aparentemente sofisticado concepto “digital” proviene de un término tan prosaico o de un apéndice que a los niños les sirve para sacarse los mocos—. Es más, una mirada observadora notará sin dificultad que los números romanos no son otra cosa que la representación de los dedos. El cinco, por ejemplo, es la representación geométrica de la mano. La base diez de la mayoría de sistemas de numeración en el mundo no se debe más que a un accidente anatómico. “Desde un punto de vista estrictamente matemático resulta en cierto modo un inconveniente el que el hombre de Cro-magnon y sus descendientes no tuvieran o bien cuatro o seis dedos en cada mano”.[5]
Pero algunas otras culturas, como los normandos y mesoamericanos, quizá utilizaron también los “dígitos” de los pies para ayudarse a contar (no sólo recurrieron a lo que “tenían a la mano” sino lo que “tenían a los pies”), dando origen al sistema vigesimal. Antes de pensar que la hipótesis parece broma, consideremos que aún hoy la tribu Fore de Nueva Guinea, que cobró notoriedad en los medios durante los 50s y 60s por la rara enfermedad que adquirieron debido a la costumbre ritual de comer el cerebro de sus parientes difuntos, “contabiliza objetos [nos dice Jared Diamond] con los diez dedos de las dos manos, luego los diez dedos de los pies y, por último, una serie de puntos a lo largo de los brazos”. [6] Con este inteligente método pueden calcular a simple vista el número de boniatos (camote polinesio) en un montón, con una precisión asombrosa.
El surgimiento de la civilización y el nacimiento de los números
Pero con el surgimiento de ganadería y la agricultura nace la acumulación de un excedente, nacen las primeras civilizaciones, se desarrolla el comercio a niveles sin precedentes; con ello surge la necesidad de calcular con mayor precisión y de establecer normas de pesos y medidas, se desprende un grupo de individuos liberados del trabajo productivo que pueden dedicarse a desarrollar abstracciones que antes sólo existían en germen. Las matemáticas y la escritura se desarrollaron en manos de una casta que monopolizaba ese conocimiento, sólo accesible a quienes no tenían la necesidad de trabajar extenuantes horas en labores productivas. Este conocimiento fue símbolo de estatus y poder, así, por ejemplo, “en una inscripción de una pirámide, el alma de un faraón es desafiada por un espíritu maligno para que demuestre que puede contar los dedos de las manos, pasando triunfalmente el examen”.[7] No es casual, en fin, que las palabras matemáticas provenga del griego “mathematikos” que significa estudioso y “mathema” que significa conocimiento, expresión de que su desarrollo estuvo en manos de una casta sacerdotal que se liberó del trabajo directo gracias a la explotación del hombre por el hombre. Marx decía que la clase dominante no sólo utiliza la propiedad de las fuerzas productivas en beneficio propio, sino también monopoliza el conocimiento en su propio interés.
El concepto de número tiene similitudes con el concepto y noción de valor-trabajo. Este último sólo puede abstraerse —hasta desprenderse de los valores útiles— mediante la comparación del trabajo invertido en diversas mercancías, usando una de ellas como medida del valor. Marx explica esto en el primer tomo de El Capital. Finalmente el valor se desprende de los objetos en la forma de dinero. Así mismo el número como abstracción se desprendió de los objetos a través de la comparación de cantidades, usando, por ejemplo, las piedras de un ábaco como símbolo de la cantidad, hasta que el número se separó de todo portador material.
No era posible registrar la riqueza acumulada y hacer un balance de las operaciones comerciales sin sumar y restar, y la necesidad práctica de estas operaciones condujo a ahorrase tiempo en sus formas “sintéticas” que son la multiplicación y la división. Con el desarrollo de la vida urbana, el comercio y el uso de los metales preciosos como medida del valor, surgió la necesidad de pesar con precisión los metales cuya unidad de peso era demasiado ambigua. Probablemente la balanza surgió como un medio de medir con precisión científica los metales preciosos, retomando un viejo instrumento de carga que usaban los campesinos conocido como pértiga, donde dos pesos se cargan mediante una vara equilibrada en el hombro. Los egipcios imaginaron que el dios Osiris, a la manera de un comerciante, pesaría el alma de los difuntos con una balanza para determinar si merecían vivir eternamente.
Sobre todo, había que registrar esas cantidades en alguna forma de escritura, de hecho lo más probable es que el registro de cantidades antecediera a la escritura propiamente dicha. Mucho antes que se escribieran los mitos y epopeyas antiguas las primeras civilizaciones registraron canastos de grano y cabezas de ganado, lo cual demuestra el origen práctico y mundano de las matemáticas y la escritura. En una de las inscripciones sumerias más antiguas se puede leer: “cuentas que representan ganado pequeño: veintiuna ovejas, seis borregas, ocho carneros adultos…”.[8] Cantidades de ganado, sacos de grano o montones de pieles se anotaban retomando el viejo sistema de marcas en hueso ya conocido por los pueblos cazadores, sólo que ahora las marcas se hacían en tablillas de barro y se crearon marcas especiales para grupos de cantidades mayores; para saber de qué cosa se trataba se solía agregar un jeroglífico. De esas marcas en barro nacerá la escritura cuneiforme de los sumerios. Los conos significaban granos, las formas ovoides jarras de aceite y los cilindros eran símbolos de animales. Posteriormente esos glifos fueron separados para desarrollarse como escritura independiente de la contabilidad. Los jeroglíficos egipcios parecen haberse desprendido de la contabilidad de esa misma manera.[9]
Además de la contabilidad de los excedentes en los registros del templo o en los registros de los comerciantes, habían otras actividades productivas que enfrentaban a la humanidad a la necesidad de depurar la abstracción cuantitativa e interesarse por la relaciones espaciales: el sedentarismo de la vida urbana trajo la arquitectura, la necesidad de medir con precisión volúmenes, ángulos y abstraer las figuras básicas que se estudian en la primaria; es decir, de inventar la trigonometría y la geometría que no por casualidad significa, en griego, “medir la tierra”. Según Herodoto fueron los egipcios los que inventaron la geometría. La fabricación de tabiques, por ejemplo, conduce frontalmente a calcular con precisión áreas y volúmenes, a entender la relación entre los lados del paralelogramo con su área y volumen. En la India se empleaban fórmulas consideradas sagradas para calcular el número de ladrillos en un templo. Los egipcios usaban una serie de cuerdas para el diseño de ángulos y la alineación de altares. De esas cuerdas, también usadas por los tejedores, nació la noción de las líneas rectas. Incluso hoy los albañiles siguen usando este sistema de cuerdas para orientarse. Los arquitectos podían diseñar en planos los espacios urbanos, el número exacto de materiales, mano de obra que se requerían; y con el fin de rematar las estructuras con volúmenes piramidales esbozaron los principios del cálculo integral. Es decir que la práctica social en cierto nivel de desarrollo de las fuerzas productivas y de las relaciones sociales conduce al descubrimiento de las operaciones aritméticas y de cálculo fundamentales.
Las viejas unidades de medición tales como el pie, la milla deriva simplemente de intentar medir la tierra comparándola con la magnitud del pie y la zancada de viejos jefes tribales o primitivos reyes. Origen similar tiene las medidas “palmo”, “codo”, “pulgada, “vara” que derivan de partes del cuerpo u objetos concretos. La medición de ángulos y áreas no sólo depuró operaciones como la multiplicación, sino que llevó a operar con cuadrados y sus raíces. La relación del cuadrado y su diagonal, por ejemplo, llevan directamente a deducir el llamado teorema de Pitágoras, que ya era conocido por los egipcios. Incluso confrontarse con las relaciones recíprocas entre áreas y perímetros a partir de magnitudes conocidas, con el fin de encontrar otras desconocidas, conduce al cálculo de ecuaciones. Pero en las primeras civilizaciones, como la India, Egipto o China, las operaciones matemáticas que hacían los sabios de la clase dominante se basaban en una especie de recetas o indicaciones legadas por la práctica —registradas en viejas tablillas o rollos— sobre cómo proceder a calcular con ejemplos concretos, es decir, que del ejercicio matemático no se habían extraído los axiomas abstractos separados de su aplicación práctica. De esta forma arcaica estas viejas civilizaciones ya podían resolver ecuaciones de primer grado. Por ejemplo, en el “papiro de Moscú”, uno de los textos matemáticos más antiguos de la humanidad, con unos cuatro mil años de antigüedad, un viejo sabio egipcio presentaba la manera de encontrar el volumen de un tronco: “si te dicen: una pirámide truncada de 6 de altura vertical, por 4 en la base y 2 en lo alto. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto”. En muchos casos esta sabiduría matemática cobraba formas místicas y esotéricas, pues las fórmulas se presentaban como conjuros mágicos que ligaban a la casta intelectual con los dioses, una muestra más del elitismo de la ciencia antigua. Será en el periodo helenístico cuando Euclides, trabajando en la famosa biblioteca de Alejandría que contenía textos de todas las civilizaciones del viejo mundo, compilará y organizará lógicamente toda esa sabiduría matemática en forma de axiomas, ya depurados de todo misticismo y empirismo.
Sistemas de numeración
Como hemos visto, con el conteo surge la necesidad de agrupar cantidades para operar mejor con ellas. Las tribus primitivas agruparon, primero, de dos en dos, de cinco en cinco y de veinte en veinte. Quedaba por delante el gran salto a la simbolización de dichas agrupaciones, es decir, el surgimiento de un sistema numérico. Un ejemplo de esta agrupación relacionada a la simbolización está en la numeración maya, en donde cantidades menores a cinco se simbolizan con guijarros y grupos de cinco se simbolizan mediante barras. Ya vimos que la mayoría de civilizaciones aprendieron a contar con los dedos de las manos e incluso de los pies, derivando en el sistema decimal o vigesimal. Una curiosa excepción fue el sistema sexagesimal de los sumerios-babilonios (que coexistía con un sistema decimal). Su herencia está presente en las sesenta unidades de nuestros segundos, minutos, horas y ángulos. ¿Cómo surgió esta curiosa manera de contar? Los sumerios usaron los dedos de las manos de un modo más sofisticado pero esencialmente idéntico a otras civilizaciones (se trata de contar dedos), dando origen a un sistema de base 60: utilizaban el pulgar (el dedo gordo) de cualquier mano para señalar las tres falanges (huesitos) de cada uno de los cuatro dedos restantes, contando, así, del uno al doce; para números superiores se usaban los cinco dedos de la otra mano para marcar hasta cinco grupos de 12 (12×5=60). Así nació el sistema sexagesimal que; además, tiene sus virtudes sobre el decimal, como tener muchos divisores, facilitando el cálculo de fracciones. Otra herencia sumeria son los 360 grados del círculo, relacionado, probablemente, con los días del año sumerio.[10] Sea como fuere, existe un enlace evolutivo entre el conteo de camotes, como lo hace el pueblo Fore, y el sistema digital de nuestras computadoras modernas. La idea de que las matemáticas surgieron de la razón pura o de la mente de dios, no es más que un prejuicio elitista.
La operación con grandes cantidades numéricas que se volvió común con el surgimiento de las civilizaciones requería, como ya vimos, de la representación de dichas cantidades. Civilizaciones como la romana utilizaron un sistema de simbolización no posicional en el cual el número representado tiene el mismo valor sin importar su posición. Así, el diez de la izquierda en el número romano XXI vale lo mismo que el de la derecha o que el X aislado. Este método tiene el gran inconveniente de que requiere de una gran cantidad de símbolos para representar números grandes. Así, por ejemplo, para un millón se usaba la letra M. Adicionalmente, e incluso más importante, con este sistema es muy complicado y engorroso hacer las operaciones más básicas (excepto para sumar y restar donde puede que los números romanos sean más fáciles de usar). Retamos al lector a hacer una multiplicación o división cualquiera usando números romanos.
La invención del cero y el sistema posicional
Pero algunas otras civilizaciones antiguas como la babilónica, la china, la india y la maya inventaron un sistema mucho más eficiente: el sistema posicional. En éste, el valor del número depende de su posición. En el número 1111, por ejemplo, el uno de la derecha no vale lo mismo que el uno de la izquierda; de hecho éste último vale unas mil veces más. Este sistema tiene la enorme ventaja de que permite representar cualquier número, por grande que sea, con una cantidad finita de símbolos, concretamente, en el sistema indo-arábigo, sólo diez símbolos —antes del uso del cero eran nueve símbolos— o incluso menos como es el caso de la numeración maya. El sistema posicional chino era menos abstracto pues cada valor posicional se representaba con un símbolo adicional.
Es posible que el surgimiento de este sistema haya tenido relación con la necesidad política no sólo de contabilizar el excedente —preocupación que por supuesto era común a los romanos— sino, además, de la necesidad de contabilizar tiempos increíblemente largos, hasta el principio de los tiempos, a los que supuestamente estaban ligadas las dinastías por gracia divina. Ejemplo de esto es la obsesión de los mayas con el ciclo calendárico no sólo cronológico sino ritual, en ciclos que involucran muchos miles de años. Obsesión similar está presente en la religión hindú cuyos periodos abarcan, incluso, millones de años.
Como sea, es muy probable que el sistema posicional fuera precedido por el uso del ábaco, instrumento común en esas viejas civilizaciones. En este instrumento, formado por hileras paralelas de piedras o guijarros —que por cierto subraya el carácter concreto del cálculo—, las series numéricas se agrupan en distintos niveles para las unidades, decenas, centenas, etc. De aquí no hacía falta más que representar cada nivel mediante una correspondiente representación posicional. Y una vez hecho esto no hacía falta más que un pequeño salto cualitativo, que en realidad fue un paso de gigante: la invención del cero. Tampoco nos parece casual que tres de esas cuatro civilizaciones que inventaron un sistema posicional también llegaran a un símbolo para el cero. Los indios inventaron el cero unos doscientos años después del uso del sistema posicional lo que sugiere una relación histórica y lógica entre ambos. El sistema posicional tiene el “inconveniente” de que debe encontrarse un símbolo para los casos en que uno de los niveles está “vacío”. Por ejemplo es relativamente fácil representar en el ábaco el número 103: se ponen tres guijarros en el nivel de las unidades, ninguno en el de las decenas y uno en el de las centenas. ¿Pero cómo representar ese lugar vacío cuando el número se escribe? Hace dos mil seiscientos años los babilonios lo resolvieron mediante un signo que separaba las cantidades, los mayas hicieron lo propio mediante una especie de concha o representación de una mano vacía, y los indios lo resolvieron poniendo un punto y luego una especie de huevo que simboliza el vacío, símbolo que aparece por primera vez en una inscripción del año 876. De hecho nuestra palabra cero deriva de la palabra árabe “sifr” que significa vacío, que también da nombre a nuestra palabra cifrar. La invención del cero fue revolucionaria: no sólo va a catapultar la evolución de las matemáticas, sino que representa un verdadero desafío mental —de allí parte de su genialidad— el operar con un número para la ausencia de números y descubrir, más tarde, que el cero es un número muy concreto, sujeto a sus propias leyes y que tiene la facultad de potenciar a todos los demás dotándolos de nuevos valores. En el siglo VII, por ejemplo, el matemático indio Brahmagupta mostró algunas de las propiedades del cero, y en el siglo XII el matemático Bhaskara razonó que un número dividido entre cero da infinito, con los cual la supuesta “nada” se ligaba con su opuesto inconmensurable. Se descubrió que el cero no es sólo la ausencia de cantidad, sino que es una cantidad muy concreta en sí misma.
Fueron estas propiedades paradójicas y contra-intuitivas las que explican, en parte, que el cero, junto con la numeración indo-arábiga, tardara medio milenio en difundirse en el mundo occidental, lastrado por las supersticiones medievales. Pero la enorme superioridad del sistema posicional y del cero sobre el rudo sistema numérico romano —que desconocía el cero— va a terminar imponiéndose a fuerza de los intereses comerciales, marítimos y científicos que derribarán los viejos prejuicios religiosos. Bien es cierto que los mayas inventaron el cero antes de que sucediera lo propio en la India, pero el cero indo-arábigo tendrá la suerte de que se va a conectar con el resto del mundo mediante la ruta de la seda y las conquistas de los árabes, y de aquí será heredado al naciente mundo burgués que va a terminar por conquistar el mundo a la fuerza.
Hemos visto que los números son el resultado de la historia y del contacto práctico con las propiedades cuantitativas de la realidad material. Son una abstracción de las propiedades cuantitativas comunes a todo objeto y proceso. No son objetos trascendentes sino abstracciones de la realidad surgidas en conjunto con el largo proceso de control de la naturaleza, desarrollo de la ciencia, la técnica y evolución de las relaciones sociales. Llegó un punto en donde esas abstracciones, nacidas de la práctica real y concreta, se desprendieron como disciplina relativamente autónoma, capaz de desarrollar su propia lógica, axiomas y leyes. De aquí el prejuicio de que son producto de la razón pura o incluso de la mente de dios, con propiedades místicas y mágicas. Incluso hoy, en la inmensa mayoría de los casos, el dominio pleno de las matemáticas sigue siendo el patrimonio de una casta académica y profesional. Pero una vez que la humanidad sea capaz de superar la explotación de clases, ese conocimiento milenario, junto al resto de las conquistas culturales de la humanidad, será patrimonio común de todos y será usado masivamente no sólo como ciencia fundamental para resolver necesidades humanas, sino incluso como medio para el disfrute de una disciplina artística.
[1] Watson, Peter; Ideas, historia intelectual de la humanidad, Crítica, Barcelona, 2013, pp. 753-754.
[2] Collete, Jean-Paul; Historia de las matemáticas, Tomo I, México, Siglo veintiuno, 2000, p. 9.
[3] Gracián, García; Los números primos, un largo camino al infinito, España, Editec, 2011, p. 10
[4] Collete, Jean-Paul; Historia de las matemáticas, Tomo I, México, Siglo veintiuno, 2000, p. 7.
[5] Boyer, Carl; Historia de la matemática, Madrid, Alianza editorial, 2003, p. 22.
[6] Diamond, Jared; El mundo hasta ayer, México, Debate, 2013, p. 318.
[7] Bernal, John D. La ciencia en la historia, México, Nueva imagen, 1989, p.138.
[8] Watson, Peter; Ideas, historia intelectual de la humanidad, Crítica, Barcelona, 2013, p. 124.
[9] Cf. Bernal, John D. La ciencia en la historia, México, Nueva imagen, 1989, p. 137.
[10] Otra versión sostiene que el sistema resulta del número de grados que se pueden trazar en un círculo utilizando escuadra y compás, pero algunos matemáticos han objetado que si fuera así se podría haber elegido entre otros números.
